Question

（2012•洛陽模擬）若a滿足x+lgx=4，b滿足x+10^x=4，函數f（x）=

x2+(a+b)x+2，x≤0 2，x＞0

，則關于x的方程f（x）=x的解的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：先根據a滿足x+lgx=4，b滿足x+10^x=4，可得a+b=4，進而可分類求出關于x的方程f（x）=x的解，從而確定關于x的方程f（x）=x的解的個數．

解答：解：∵a滿足x+lgx=4，b滿足x+10^x=4，
∴a，b分別為函數y=4-x與函數y=lgx，y=10^x圖象交點的橫坐標
由于y=x與y=4-x圖象交點的橫坐標為2，函數y=lgx，y=10^x的圖象關于y=x對稱
∴a+b=4
∴函數f（x）=

x2+4x+2，x≤0 2，x＞0

當x≤0時，關于x的方程f（x）=x，即x²+4x+2=x，即x²+3x+2=0，
∴x=-2或x=-1，滿足題意
當x＞0時，關于x的方程f（x）=x，即x=2，滿足題意
∴關于x的方程f（x）=x的解的個數是3
故選C．

點評：本題考查函數與方程的聯系，考查根的個數的研究，解題的關鍵是求出分段函數的解析式，有一定的綜合性．