Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=4，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如圖2．
（1）求證：A₁C⊥平面BCDE；
（2）過點E作截面EFH∥平面A₁CD，分別交CB于F，A₁B于H，求截面EFH的面積；
（3）線段BC上是否存在點P，使平面A₁DP與平面A₁BE成60的角？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明DE⊥平面A₁CD，可得A₁C⊥DE，利用A₁C⊥CD，CD∩DE=D，即可證明A₁C⊥平面BCDE；
（2）過點E作EF∥CD交BC于F，過點F作FH∥A₁C交A₁B于H，連結EH，則截面EFH∥平面A₁CD，從而可求截面EFH的面積；
（3）假設線段BC上存在點P，使平面A₁DP與平面A₁BE成60°的角，建立坐標系，利用向量知識，結合向量的夾角公式，即可求出結論．
解答：（1）證明：∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A₁D=D，
∴DE⊥平面A₁CD．
又∵A₁C?平面A₁CD，∴A₁C⊥DE．
又A₁C⊥CD，CD∩DE=D，
∴A₁C⊥平面BCDE…（4分）
（2）解：過點E作EF∥CD交BC于F，過點F作FH∥A₁C交A₁B于H，連結EH，則截面EFH∥平面A₁CD．
因為四邊形EFCD為矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，從而FB=2，HF=．
∵A₁C⊥平面BCDE，FH∥A₁C，
∴HF⊥平面BCDE，∴HF⊥FE，
∴．…（8分）
（3）解：假設線段BC上存在點P，使平面A₁DP與平面A₁BE成60°的角．
設P點坐標為（a，0，0），則a∈[0，6]．
如圖建系C-xyz，則D（0，1，0），，B（6，0，0），E（4，1，0）．
∴，．
設平面A₁BE法向量為，
則，∴，∴，
設平面A₁DP法向量為，因為，．
則，∴，∴．
則，∴5656a²-96a-141=0，
解得
∵0＜a＜，6∴
所以存在線段BC上存在點P，使平面A₁DP與平面A₁BE成60°的角．…（12分）
點評：本題考查線面平行，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．