Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E．
（1）求證：點E是邊BC的中點；
（2）若EC=3，BD=2

6

，求⊙O的直徑AC的長度．

Answer 1

分析：（1）利用EC為⊙O的切線，ED也為⊙O的切線可求EC=ED，再求得EB=EC，EB=ED可知點E是邊BC的中點；
（2）解答此題需要運用圓切線和割線的性質(zhì)和勾股定理求解．

解答：證明：（1）連接DO；
∵∠ACB=90°，AC為直徑，
∴EC為⊙O的切線；
又∵ED也為⊙O的切線，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED，
∴EB=EC，即點E是邊BC的中點；

（2）∵BC，BA分別是⊙O的切線和割線，
∴BC²=BD•BA，
∴（2EC）²=BD•BA，即BA•2

6

=36，
∴BA=3

6

，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC=

AB2-BC2

=

(3 6 )2-62

=3

2

．

點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．