Question

（1）求直線l₁：2x+y-4=0關于直線l₂：3x+4y-1=0對稱的直線方程．
（2）已知實數x，y滿足x²+y²-4x=0，求

y-1

x+2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求得直線l₁與直線l₂對的交點p的坐標，在直線l₁上取一點M（0，3），求出點P關于直線l₂對稱點N，的坐標，可得MN的斜率，用點斜式求得對稱直線l的方程．
（2）由題意，借助已知動點在單位圓上任意動，而所求式子形式可以聯想成在單位圓上動點P與定點A構成的斜率，進而求解．

解答：解：（1）兩直線交點P（3，-2）------------------------（2分）
取直線l₁上的點M（2，0）關于直線l₂對稱的點N（m，n），
由對稱條件則有

3× 2+m 2 +4× n 2 -1=0 n m-2 ×(- 3 4 )=-1

，
解得

m= 4 5 n=- 8 5

，
解得N(

4

5

，-

8

5

)
所求直線方程為：2x+11y+16=0-----------------------------（6分）
（2）解：令k=

y-1

x+2

則k可看作圓x²+y²-4x=0上的動點到點（-2，1）的連線的斜率，
由圓心（2，0）到直線kx-y+2k+1=0的距離d≤2，
得

y-1

x+2

的范圍是[

-2- 13

6

，

-2+ 13

6

]----------------------（12分）

點評：本題主要考查求一個點關于某直線的對稱點的坐標的方法以及直線與圓的相切與相交的關系，用點斜式求直線的方程，屬于中檔題．