Question

已知a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實根，函數的定義域為[a，b]．
（1）當k=0時，求函數f（x）的值域；
（2）證明：函數f（x）在其定義域[a，b]上是增函數；
（3）在（1）的條件下，設函數，若對任意的，總存在，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定函數解析式，求導函數，確定函數的單調性，從而可求函數f（x）的值域；
（2）確定函數在其定義域[a，b]上，導數為正，即可得到結論；
（3）由題意知：g（x）的值域是f（x）值域的子集，分別確定g（x）的值域、f（x）值域，即可求得實數m的取值范圍．
解答：（1）解：當k=0時，4x²-1=0，∴x=±，∴，
∴，
∴f（x）在[]上單調遞增
∴函數f（x）的值域為[-，]；
（2）證明：求導函數可得
∵a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實根
∴拋物線開口向下，兩根之內的函數值必為正值
∵當x∈[a，b]，，∴-x²+kx+1＞0，
∴＞0．
∴函數f（x）在其定義域[a，b]上是增函數；
（3）解：由題意知：g（x）的值域是f（x）值域的子集．
由（1）知，f（x）的值域是，g'（x）=3x²-3m²，g'（x）=0⇒x=±m

x			-m	（-m，m）	m
f'（x）		+		-		+
f（x）		遞增	極大值g（-m）	遞減	極小值g（m）	遞增

顯然，
∴欲使g（x）的值域是f（x）值域的子集，只需，解得：．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與值域，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．