【題目】如圖，已知等邊
中，
，
分別為
，
邊的中點，
為
的中點，
為
邊上一點，且
，將
沿
折到
的位置，使平面
平面
.
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
【答案】詳見解析.
【解析】
試題分析：（1）首先根據已知條件可證出
，再由面面垂直的性質定理并結合平面
平面
可得出
平面，然后再由
和
可證得
，再在正
中易證得
平面
，最后由面面垂直的判定定理即可得出所證的結論；（2）首先建立空間直角坐標系，并正確寫出各點的空間坐標，然后由法向量的定義分別求出平面
和平面
的法向量，最后由公式
即可計算出所求的角的大小.
試題解析：（Ⅰ）因為
，
為等邊的
，
邊的中點，
所以
是等邊三角形，且
.因為
是
的中點，所以.
又由于平面平面，
平面
，所以平面.
又
平面，所以.因為，所以
，所以.
在正中知
，所以
.而
，所以平面.
又因為
平面
，所以平面
平面
.
（Ⅱ）設等邊的邊長為4，取
中點
，連接
，由題設知
，由（Ⅰ）知
平面
，又
平面，所以
，如圖建立空間直角坐標系
，則
，
，
，
，
.
設平面的一個法向量為
，則
由
得
令
，則
.
平面的一個法向量為
，所以
，
顯然二面角
是銳角.所以二面角
的余弦值為
.
第三學期贏在暑假系列答案
學練快車道快樂假期暑假作業新疆人民出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
函數
.
（1）當
時，求函數
的定義域；
（2）若
，判斷
的奇偶性；
（3）是否存在實數
，使函數在
遞增，并且最大值為1，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量
（升）關于行駛速度
（千米/小時）的函數解析式可以表示為：
．已知甲、乙兩地相距100千米．
（Ⅰ）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
是兩條不同直線，
，
是兩個不同平面，則下列命題正確的是（ ）
A.若，垂直于同一平面，則與平行
B.若，平行于同一平面，則與平行
C.若，不平行，則在內不存在與平行的直線
D.若，不平行，則與不可能垂直于同一平面
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知圓
的極坐標方程為
，直線
的參數方程為
（
為參數）．若直線
與圓
相交于不同的兩點
，
．
（Ⅰ）寫出圓
的直角坐標方程，并求圓心的坐標與半徑；
（Ⅱ）若弦長
，求直線
的斜率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某制造廠商10月份生產了一批乒乓球，從中隨機抽取
個進行檢查，測得每個球的直徑（單位：
），將數據進行分組，得到如下頻率分布表：
（1）求
、
、及
、
的值，并畫出頻率分布直方圖（結果保留兩位小數）；
（2）已知標準乒乓球的直徑為
，直徑誤差不超過
的為五星乒乓球，若這批乒乓球共有
個，試估計其中五星乒乓球的數目；
（3）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值（例如區間
的中點值是
）作為代表，估計這批乒乓球直徑的平均值和中位數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某制造廠商10月份生產了一批乒乓球，從中隨機抽取
個進行檢查，測得每個球的直徑（單位：
），將數據進行分組，得到如下頻率分布表：
（1）求
、
、
及
、
的值，并畫出頻率分布直方圖（結果保留兩位小數）；
（2）已知標準乒乓球的直徑為
，直徑誤差不超過
的為五星乒乓球，若這批乒乓球共有
個，試估計其中五星乒乓球的數目；
（3）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值（例如區間
的中點值是
）作為代表，估計這批乒乓球直徑的平均值和中位數．
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