【題目】某企業生產一種產品,根據經驗,其次品率與日產量
(萬件)之間滿足關系,
(其中
為常數,且
,已知每生產1萬件合格的產品以盈利2萬元,但每生產1萬件次品將虧損1萬元(注:次品率=次品數/生產量, 如
表示每生產10件產品,有1件次品,其余為合格品).
(1)試將生產這種產品每天的盈利額 (萬元)表示為日產量
(萬件)的函數;
(2)當日產量為多少時,可獲得最大利潤?
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】
(1)運用每天的贏利為P(x)=日產量(x)×正品率(1﹣Q)×2﹣日產量(x)×次品率(Q)×1,整理即可得到P(x)與x的函數式;
(2)當a<x≤11時,求得P(x)的最大值;當1≤x≤a時,設12﹣x=t,利用基本不等式可得x=9時,等號成立,故可分類討論得:當1<a<3時,當x=11時,取得最大利潤; 3≤a<9時,運用復合函數的單調性可得當x=a時取得最大利潤;當9≤a≤11時,當日產量為9萬件時,取得最大利潤.
(1)當時,
,
∴.
當時,
,
∴.
綜上,日盈利額(萬元)與日產量x(萬件)的函數關系式為
,(其中a為常數,且
).
(2)當時,
,其最大值為55萬元.
當時,
,設
,則
,
此時,,
顯然,當且僅當,即
時,
有最大值,為13.5萬元.
令,得
,
解得(舍去)或
,
則(i)當時,日產量為11萬件時,可獲得最大利潤5.5萬元.
(ii)當時,
時,
函數可看成是由函數
與
復合而成的.
因為,所以
,故
在
上為減函數
又在
上為減函數,所以
在
上為增函數
故當日產量為a萬件時,可獲得最大利潤萬元.
(iii)當時,日產量為9萬件時,可獲得最大利潤13.5萬元.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設函數f(x)=xex﹣ax2(a∈R).
(1)若函數g(x)= 是奇函數,求實數a的值;
(2)若對任意的實數a,函數h(x)=kx+b(k,b為實常數)的圖象與函數f(x)的圖象總相切于一個定點. ①求k與b的值;
②對(0,+∞)上的任意實數x1 , x2 , 都有[f(x1)﹣h(x1)][f(x2)﹣h(x2)]>0,求實數a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】橢圓C: =1(a>b>0),作直線l交橢圓于P,Q兩點,M為線段PQ的中點,O為坐標原點,設直線l的斜率為k1 , 直線OM的斜率為k2 , k1k2=﹣
.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設直線l與x軸交于點D(﹣ ,0),且滿足
=2
,當△OPQ的面積最大時,求橢圓C的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某學校為調查該校學生每周使用手機上網的時間,隨機收集了若干位學生每周使用手機上網的時間的樣本數據(單位:小時),將樣本數據分組為,繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖,已知
內的學生有5人.
(1)求樣本容量,并估計該校學生每周平均使用手機上網的時間;
(2)將使用手機上網的時間在內定義為“長時間看手機”;使用手機上網的時間在
內定義為“不長時間看手機”.已知在樣本中有
位學生不近視,其中“不長時間看手機”的有
位學生.請將下面的
列聯表補充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為該校學生長時間看手機與近視有關.
近視 | 不近視 | 合計 | |
長時間看手機 | |||
不長時間看手機 | 15 | ||
合計 | 25 |
參考公式和數據:.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=|x﹣1|+|x+a|,
(1)當a=﹣2時,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)若a>﹣1,且當x∈[﹣a,1]時,不等式f(x)≤g(x)有解,求實數a的取值范圍.
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