Question

如圖，等邊△SAB與直角梯形ABCD垂直，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=BC=2，AD=1．若E，F分別為AB，CD的中點．
（1）求||的值；
（2）求面SCD與面SAB所成的二面角大小．

Answer 1

解：（1）連接SF，則
在正△SAB中，AB=2，SE=，E為AB的中點，∴SE=，SE⊥AB
∵BC=2，AD=1，E，F分別為AB，CD的中點，∴EF=
∵等邊△SAB與直角梯形ABCD垂直，SE⊥AB
∴SE⊥面ABCD，∴SE⊥EF
直角△SEF中，|SF|==，
∴||=2=；
（2）建立如圖所示的直角坐標系，

則S（0，0，），D（1，1，0），C（-1，2，0）
設面SCD的法向量為=（x，y，z），則由，可得
取x=1，可得=（1，2，）
∵面SAB的法向量為
∴cos＜＞===．
分析：（1）連接SF，證明SE⊥面ABCD，可得SE⊥EF，利用||=2，即可求得結論；
（2）建立直角坐標系，分別求出面SCD與面SAB的法向量，利用向量的夾角公式，即可求面SCD與面SAB所成的二面角大小．
點評：本題考查面面垂直，考查線面垂直，考查向量知識的運用，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．