Question

如圖，等邊△SAB與直角梯形ABCD垂直，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=BC=2，AD=1．若E，F分別為AB，CD的中點．
（1）求|

SC

+

SD

|的值； 
（2）求面SCD與面SAB所成的二面角大小．

Answer 1

分析：（1）連接SF，證明SE⊥面ABCD，可得SE⊥EF，利用|

SC

+

SD

|=2|

SF|

，即可求得結論；
（2）建立直角坐標系，分別求出面SCD與面SAB的法向量，利用向量的夾角公式，即可求面SCD與面SAB所成的二面角大�。�

解答：解：（1）連接SF，則
在正△SAB中，AB=2，SE=

3

，E為AB的中點，∴SE=

3

，SE⊥AB
∵BC=2，AD=1，E，F分別為AB，CD的中點，∴EF=

3

2

∵等邊△SAB與直角梯形ABCD垂直，SE⊥AB
∴SE⊥面ABCD，∴SE⊥EF
直角△SEF中，|SF|=

|SE|2+|EF|2

=

21

2

，
∴|

SC

+

SD

|=2|

SF|

=

21

；
（2）建立如圖所示的直角坐標系，

則S（0，0，

3

），D（1，1，0），C（-1，2，0）
設面SCD的法向量為

n2

=（x，y，z），則由

n2 • CD =0 n2 • SD =0

，可得

2x-y=0 x+y- 3 z=0

取x=1，可得

n2

=（1，2，

3

）
∵面SAB的法向量為

n1

=(0，1，0)
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2

2 2

=

2

2

．

點評：本題考查面面垂直，考查線面垂直，考查向量知識的運用，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．