Question

已知：a，b，c，d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面．

Answer 1

【答案】分析：四條直線兩兩相交包括：四條直線中有三條相交于一點與四條直線中任何三條都不共點兩種情況．
無論哪種情況先由兩直線相交確定一個平面，再通過直線上兩點在一個平面內則該直線在這個平面內，即可證明．
解答：證明：（1）若當四條直線中有三條相交于一點，
不妨設a，b，c相交于一點A，
但A∈d，如圖1．
∴直線d和A確定一個平面α．
又設直線d與a，b，c分別相交于E，F，G，
則A，E，F，G∈α．
∵A，E∈α，且A，E∈a∴a?α．
同理可證b?α，c?α．
∴a，b，c，d在同一平面α內．
（2）當四條直線中任何三條都不共點時，如圖2．
∵這四條直線兩兩相交，則設相交直線a，b確定一個平面α．
設直線c與a，b分別交于點H，K，則H，K∈α．
又H，K∈c，∴c?α．
同理可證d?α．
∴a，b，c，d四條直線在同一平面α內．
點評：本題主要考查平面的確定方法、線在面內的判定方法及分類討論思想．