Question

有人玩擲硬幣跳跳棋的游戲，已知硬幣正反面出現概率均為，棋盤上標有第0站，第1站，第2站，…，第100站．一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次．若擲正面棋子向前跳一站(從k到k＋1)；若擲出反面，棋子向前跳二站(從k到k＋2)，直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或跳到第100站(失敗集中營)時，該游戲結束，設棋子跳到第n站的概率為．

(1)求的值；

(2)求及的值；

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)棋子開始在第0站為必然事件， ∴．第一次擲硬幣出現正面，棋子跳到第1站，其概率為， ∴，棋子跳到第2站應從如下兩方面考慮： ①前二次擲硬幣都出現正面，其概率為； ②第一次擲硬幣都出現反面，其概率為． ∴． (2)棋子跳到第n(2≤n≤99)站的情況是下列兩種，而且也只有兩種： ①棋子先到第n－2站，又擲出反面，其概率為； ②棋子先到第n－1站，又擲出正面，其概率為． ∴， ∴， ∴當1≤n≤99，數列是首項為，公比為的等比數列． ∴，，，…，． 以上各式相加，得 ， ∴，(n=0，1，2，…，99) ∴， ．