Question

有人玩擲硬幣跳跳棋的游戲，已知硬幣正反面出現概率均為，棋盤上標有第0站，第1站，第2站，…，第100站．一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次．若擲正面棋子向前跳一站（從k到k+1）；若擲出反面，棋子向前跳二站（從k到k+2），直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第100站（失敗集中營）時，該游戲結束，設棋子跳到第n站的概率為．

（1）求的值；

（2）求及的值；

Answer 1

解：（1）棋子開始在第0站為必然事件，

∴．第一次擲硬幣出現正面，棋子跳到第1站，其概率為，

∴，棋子跳到第2站應從如下兩方面考慮：

①前二次擲硬幣都出現正面，其概率為；

②第一次擲硬幣都出現反面，其概率為．

∴．

（2）棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：

①棋子先到第n-2站，又擲出反面，其概率為；

②棋子先到第n-1站，又擲出正面，其概率為．

∴，

∴，

∴當1≤n≤99，數列是首項為，公比為的等比數列．

∴，，，…，．

以上各式相加，得

，

∴，（n=0，1，2，…，99）

∴，

．