Question

如圖①，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E，F分別為AC，AB的中點，將△AEF沿EF對折，使A′在平面BCEF上的射影O恰好為EC中點，得到圖②，若M為A′B的中點．
（1）FM∥平面A′CE；
（2）求證：平面EFM⊥平面A′CF；
（3）求三棱錐F-A′BC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連BE，取BE中點N，連結MN，FN，由已知得MN∥A′E，NF∥CE，又MN∩FN=N，從而平面MNF∥平面A′CE，由此能證明FM∥平面A′CE．
（2）由已知得EF⊥AC，EF⊥A'E，EF⊥EC，從則EF⊥平面A'EC，由此能證明平面EFM⊥平面A′CF．
（3）由已知得S_△FBC=

1

2

BC•EC=4，A′O=

A′E2-EO2

=

3

，由此能求出三棱錐F-A′BC的體積．

解答： （1）證明：連BE，取BE中點N，連結MN，FN，
∵M是為A′B的中點，∴MN∥A′E，
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，
E，F分別為AC，AB的中點，
∴NF∥CE，又MN∩FN=N，∴平面MNF∥平面A′CE，
∵MF?平面MNF，∴FM∥平面A′CE．
（2）證明：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位線，
∴EF⊥AC，在四棱錐A'-BCEF中，EF⊥A'E，EF⊥EC，
又EC∩A′E=E，∴EF⊥平面A'EC，
∵平面MNF∥平面A′CE，∴EF⊥平面MNF，
又EF?平面EFM，∴平面EFM⊥平面A′CF．
（3）解：在直角梯形EFBC中，EC=2，BC=4，
∴S_△FBC=

1

2

BC•EC=4，
又∵A'O垂直平分EC，∴A′O=

A′E2-EO2

=

3

，
∴三棱錐F-A′BC的體積V=

1

3

S_△FBC•A′O=

1

3

×4×

3

=

4 3

3

．

點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．