Question

已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列四個命題：
①m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β； 
②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β； 
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n．
其中正確的命題的序號是（　　）

A．①③

B．②③

C．①④

D．②④

Answer 1

分析：①分別取直線m、n的方向向量即為平面α、β法向量，而二者垂直，所以二平面亦垂直；
②舉出以下反例：m⊥β時亦滿足條件，但此時平面α與β卻相交；
③同②可舉出反例；
④可由m⊥α，α∥β，得出m⊥β，再由線面平行的性質定理及n∥β可知，在平面β內有無數(shù)條直線與直線n平行，可得m與這些直線垂直，即可判斷出答案．

解答：解：如圖所示，①∵m⊥α，n⊥β，m⊥n，∴平面α、β的法向量垂直，∴可得出二平面的平面角為直角，則α⊥β，故①正確； 
②若m⊥β時亦滿足條件，但是α與β相交，即α與β不一定平行，因此②不正確；
③同②可舉出反例，∴③不正確；
④∵m⊥α，α∥β，∴m⊥β．∵n∥β，由線面平行的性質定理可知，在平面β內有無數(shù)條直線與直線n平行，
可得m與這些直線垂直，從而m與n垂直．
綜合以上可知：①④正確．
故選C．

點評：理解線面、面面平行與垂直的判斷定理和性質定理是解題的關鍵．