Question

如圖1，邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點A'，連接EF，A'B（如圖2）．

（1）求證：A'D⊥EF；
（2）求點A'到平面BEDF的距離．

Answer 1

分析：（1）根據折疊前AD⊥AE，CD⊥CF，可得折疊后A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，再由紆面垂直的判定定理可得A'D⊥平面A'EF，再由線面垂直的性質可得A'D⊥EF；
（2）利用割補法求出四邊形BEDF的面積，及三角形BEF和三角形DEF的面積，求出三棱錐A'DEF的體積后，利用等積法，可求出點A'到平面BEDF的距離．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF…（1分）
則A'D⊥A'E，A'D⊥A'F…（2分）
又A'E∩A'F=A'，A'E，A'F?平面A'EF…（3分）
∴A'D⊥平面A'EF…（4分）
而EF?平面A'EF，
∴A'D⊥EF…（5分）
（2）∵正方形ABCD的邊長為2，點E是AB的中點，點F是BC的中點
∴S四邊形BEDF=

1

2

S正方形ABCD=

1

2

×22=2…（6分）
∵S△BEF=

1

2

×1×1=

1

2

…（7分）
∴S△DEF=2-

1

2

=

3

2

…（8分）
在Rt△BEF中，BE=BF=1，∴EF=

2

而A'E=A'F=1，
∴A'E²+A'F²=EF²…（9分）
∴S△A′EF=

1

2

×1×1=

1

2

…（10分）
由（1）得A'D⊥平面A'EF，且A'D=2，
∴VD-A′EF=

1

3

S△A′EFA′D=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

…（11分）
設點A'到平面BEDF的距離為h，則VA′-DEF=

1

3

S△DEFh=

1

3

•

3

2

•h=

1

3

…（12分）
∴h=

2

3

…（13分）
∴點A'到平面BEDF的距離為

2

3

…（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質，點到平面的距離，其中（1）的關鍵是弄清折疊前后不變的線線垂直關系，（2）的關鍵是求出三棱錐A'DEF的體積