Question

（2012•江西模擬）如圖，把邊長為2的正六邊形ABCDEF沿對角線BE折起，使|AC|=

6

．
（1）求證：面ABEF⊥面BCDE；
（2）求五面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）設原正六邊形中，AC∩BE=O，DF∩BE=O'，證明DF⊥BE，證明OA⊥OC，然后證明面ABEF⊥面BCDE；
（2）說明AOC-FO'D是側棱長（高）為2的直三棱柱，通過V_ABCDEF=2V_B-AOC+V_AOC-FO'D求出體積．

解答：解：（1）設原正六邊形中，AC∩BE=O，DF∩BE=O'，
由正六邊形的幾何性質可知OA=OC=

3

，AC⊥BE，DF⊥BE…（2分）
∵

OA2+OC2=AC2=6⇒OA⊥OC OA⊥OB OA?面ABEF

，
∴OA⊥面BCDE，
∴面ABEF⊥面BCDE；
（2）由BE⊥面AOC，BE⊥面FO'D知，面AOC∥面FO'D，故AOC-FO'D是側棱長（高）為2的直三棱柱，
且三棱錐B-AOC和E-FO'D為大小相同的三棱錐…（9分）
∴V_ABCDEF=2V_B-AOC+V_AOC-FO'D=2•

1

3

•

1

2

(

3

)2•1+

1

2

(

3

)2•2…（11分）
=4…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力．