Question

設(shè) x=0是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一個極值點．
（1）求 a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè) a＞0，g（x）=-（a²-a+1）e^x+2，問是否存在ξ₁，ξ₂∈[-2，2]，使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤1成立？若存在，求 a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出其導函數(shù)，把x=0直接代入導函數(shù)即可求出a與b的關(guān)系式b=-a；再求出其導函數(shù)f'（x）=[x²+（a+2）x]e^x=x（x+a+2）e^x，以及導數(shù)為0的根0和-a-2，討論兩根的大小即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）先由 a＞0求出f（x）與g（x）在[-2，2]上的單調(diào)性以及值域，再利用在[-2，2]上，f_min（x）-g_max（x）=-a+（a²-a+1）=（a-1）²≥0，即可得a所滿足的不等式，解不等式即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）f'（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x（2分）
由f'（0）=0，得b=-a（4分）
∴f（x）=（x²+ax-a）e^x
f'（x）=[x²+（a+2）x]e^x=x（x+a+2）e^x．
令f'（x）=0，得x₁=0，x₂=-a-2
由于x=0是f（x）極值點，故x₁≠x₂，即a≠-2
當a＜-2時，x₁＜x₂，故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0]和[-a-2，+∞），單調(diào)減區(qū)間是[0，-a-2]（6分）
當a＞-2時，x₁＞x₂，故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-a-2]和[0，+∞），單調(diào)減區(qū)間是[-a-2，0]（8分）
（2）當a＞0時，-a-2＜-2，f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞減，在[0，2]上單調(diào)遞增，
因此f（x）在[-2，2]上的值域為[f（0），max[f（-2），f（2）]]=[-a，（4+a）e²]（10分）
而g(x)=-(a2-a+1)ex+2=-[(a-

1

2

)2+

3

4

]ex+2在[-2，2]上單調(diào)遞減，
所以值域是[-（a²-a+1）]e⁴，-（a²-a+1）]（12分）
因為在[-2，2]上，f_min（x）-g_max（x）=-a+（a²-a+1）=（a-1）²≥0（13分）
所以，a只須滿足

a＞0 -a+(a2-a+1)≤1

，解得0＜a≤2
即當a∈（0，2]時，存在ξ₁、ξ₂∈[-2，2]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤1成立．（14分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．在利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時，導函數(shù)為正對應的區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間；導函數(shù)為負對應的區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間．