Question

設 x=0是函數f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一個極值點．
（1）求 a與b的關系式（用a表示b），并求f（x）的單調區間；
（2）設 a＞0，g（x）=-（a²-a+1）e^x+2，問是否存在ξ₁，ξ₂∈[-2，2]，使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤1成立？若存在，求 a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）f'（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x（2分）
由f'（0）=0，得b=-a（4分）
∴f（x）=（x²+ax-a）e^x
f'（x）=[x²+（a+2）x]e^x=x（x+a+2）e^x．
令f'（x）=0，得x₁=0，x₂=-a-2
由于x=0是f（x）極值點，故x₁≠x₂，即a≠-2
當a＜-2時，x₁＜x₂，故f（x）的單調增區間是（-∞，0]和[-a-2，+∞），單調減區間是[0，-a-2]（6分）
當a＞-2時，x₁＞x₂，故f（x）的單調增區間是（-∞，-a-2]和[0，+∞），單調減區間是[-a-2，0]（8分）
（2）當a＞0時，-a-2＜-2，f（x）在[-2，0]上單調遞減，在[0，2]上單調遞增，
因此f（x）在[-2，2]上的值域為[f（0），max[f（-2），f（2）]]=[-a，（4+a）e²]（10分）
上單調遞減，
所以值域是[-（a²-a+1）]e⁴，-（a²-a+1）]（12分）
因為在[-2，2]上，f_min（x）-g_max（x）=-a+（a²-a+1）=（a-1）²≥0（13分）
所以，a只須滿足，解得0＜a≤2
即當a∈（0，2]時，存在ξ₁、ξ₂∈[-2，2]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤1成立．（14分）
分析：（1）先求出其導函數，把x=0直接代入導函數即可求出a與b的關系式b=-a；再求出其導函數f'（x）=[x²+（a+2）x]e^x=x（x+a+2）e^x，以及導數為0的根0和-a-2，討論兩根的大小即可求出f（x）的單調區間；
（2）先由 a＞0求出f（x）與g（x）在[-2，2]上的單調性以及值域，再利用在[-2，2]上，f_min（x）-g_max（x）=-a+（a²-a+1）=（a-1）²≥0，即可得a所滿足的不等式，解不等式即可求a的取值范圍．
點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值以及利用導數研究函數的單調性．在利用導數研究函數的單調性時，導函數為正對應的區間為原函數的增區間；導函數為負對應的區間為原函數的減區間．