Question

已知P是拋物線C：x²=2y上異于原點的一點．
（1） 過P點的切線l₁與x軸、y軸分別交于點M、N，求

PM

MN

的值；
（2）過P點與切線l₁垂直的直線l₂與拋物線C交于另一點Q，且與x軸、y軸分別交于點S、T，求

ST

SP

+

ST

SQ

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由P是拋物線C：x²=2y上異于原點的一點，設出點P的坐標，求出拋物線解析式的導函數，把P的橫坐標代入導函數求出的導函數值即為切線方程的斜率，由P的坐標和表示出的斜率寫出切線的方程，令y=0求出點M的橫坐標，又點N的橫坐標為0，根據中點坐標公式，得到M為PN的中點，即PM=MN，即可求出

PM

MN

的值；
（2）設出直線l的方程為y=kx+b，分別過P，Q作PP'⊥x軸，QQ'⊥x軸，垂足分別為P'，Q'，根據三角形的相似得到所求式子與點P和點Q的縱坐標有關的式子，與拋物線方程聯立消去x得到關于y的一元二次方程，利用韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，根據基本不等式把所求式子利用基本不等式化簡后，將兩根之積代入即可求出所求式子的最小值，進而得到所求式子的取值范圍．

解答：解：（1）設點P(x0， 

1

2

x

2 0

) (x0≠0)，
∵y'=x，故過點P的切線方程為y-

1

2

x

2 0

=x0(x-x0)，
令y=0得x=

x0

2

，
又N點的橫坐標為0，故M為PN的中點，
∴

PM

MN

=1；（4分）
（2）設直線l：y=kx+b，由題意k≠0，b≠0則T（0，b）
分別過P，Q作PP'⊥x軸，QQ'⊥x軸，垂足分別為P'，Q'，
則

ST

SP

+

ST

SQ

=

OT

P′P

+

OT

Q′Q

=

b

y1

+

b

y2

，
由

x2=2y y=kx+b

消去x得y²-2（k²+b）y+b²=0
則

y1+y2=2(k2+b) y1y2=b2

（7分）
∴

ST

SP

+

ST

SQ

=

b

y1

+

b

y2

≥2b

1 y1y2

=2b•

1

b

=2，（9分）
又y₁≠y₂，
∴

ST

SP

+

ST

SQ

的取值范圍是（2，+∞）．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，靈活運用韋達定理及基本不等式化簡求值，靈活運用三角形相似得對應邊成比例解決實際問題，是一道中檔題．