Question

已知P是拋物線C：x²=2y上異于原點的一點．
（1） 過P點的切線l₁與x軸、y軸分別交于點M、N，求

PM

MN

的值；
（2）過P點與切線l₁垂直的直線l₂與拋物線C交于另一點Q，且與x軸、y軸分別交于點S、T，求

ST

SP

+

ST

SQ

的取值范圍．

Answer 1

（1）設點P(x0， 

1

2

x

20

) (x0≠0)，
∵y'=x，故過點P的切線方程為y-

1

2

x

20

=x0(x-x0)，
令y=0得x=

x0

2

，
又N點的橫坐標為0，故M為PN的中點，
∴

PM

MN

=1；（4分）
（2）設直線l：y=kx+b，由題意k≠0，b≠0則T（0，b）
分別過P，Q作PP'⊥x軸，QQ'⊥x軸，垂足分別為P'，Q'，
則

ST

SP

+

ST

SQ

=

OT

P′P

+

OT

Q′Q

=

b

y1

+

b

y2

，
由

x2=2y y=kx+b

消去x得y²-2（k²+b）y+b²=0
則

y1+y2=2(k2+b) y1y2=b2

（7分）
∴

ST

SP

+

ST

SQ

=

b

y1

+

b

y2

≥2b

1 y1y2

=2b•

1

b

=2，（9分）
又y₁≠y₂，
∴

ST

SP

+

ST

SQ

的取值范圍是（2，+∞）．