Question

【題目】已知函數是R上的偶函數，其中e是自然對數的底數．

（1）求實數的值；

（2）探究函數在上的單調性，并證明你的結論；

（3）若函數有零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析； （3）.

【解析】

（1）根據偶函數的定義得到在R上恒成立，可得；（2）由（1）得在上單調遞增，然后根據單調性的定義進行證明即可；（3）

由條件得，設，則問題轉化為方程在區(qū)間上有實數根，然后根據方程根的分布的知識求解即可得到所求范圍．

（1）∵函數是偶函數，

∴，即，

整理得在R上恒成立，

∴．

（2）函數在上單調遞增．證明如下：

當時，．

設，

則

，

∵，

∴，即，

∴，

∴，

∴函數在上單調遞增．

（3）由題意得

．

令，當且僅當時等號成立，

且，

∵函數有零點，

∴函數在上有零點．

①當在上只有一個零點時，

則，即，

解得；

②當在上有兩個零點時，

則，即，

解得．

綜上可得．

∴當函數有零點時，實數的取值范圍為．