Question

如果△ABC外接圓半徑為R，且2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB，
（1）求角C的值
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根據正弦定理把2R（sin²A-sin²C）=（

2

a-b）sinB中的角轉換成邊可得a，b和c的關系式，再代入余弦定理求得cosC的值，進而可得C．
（2）根據三角形的面積公式求得三角形面積的表達式，利用兩角和公式化簡整理后，根據角A的范圍求得面積的最大值

解答：解：（1）由2R（sin²A-sin²C）=（

2

a-b）sinB，
根據正弦定理得a²-c²=（

2

a-b）b=

2

ab-b²，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

2

，
∴角C的大小為45°，
（2）∵S=

1

2

absinC=

1

2

×

2

2

ab
=

2

R²sinAsinB=

2

R²sinAsin（135°-A）
=

2

R²sinA（sin135°cosA-cos135°sinA）
=R²（sinAcosA+sin²A）
=R²•

1+sin2A-cos2A

2

=R²•

1+ 2 sin(2A- π 4 )

2

∴當2A=135°，即A=67.5°時，Smax=

2 +1

2

R2

點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．解三角形問題過程中常需要利用正弦定理和余弦定理完成邊角問題的互化．