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如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,∠BAC=90°,D為棱BB1的中點
(Ⅰ)求異面直線C1D與A1C所成的角;
(Ⅱ)求證:平面A1DC⊥平面ADC.

【答案】分析:解法一:在含有直線與平面垂直垂直的條件的棱柱、棱錐、棱臺中,也可以建立空間直角坐標系,設定參量求解.這種解法的好處就是:(1)解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理,因為這些可以用向量方法來解決.(2)即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出,因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可.設AB=a,則A1(0,0,2a),C(0,a,0),C1(0,a,2a),D(a,0,a)
(Ⅰ)=(a,-a,-a),=(0,a,-2a)
(Ⅱ)又∵=(a,0,-a),=(0,a,0),∴,∴A1D⊥平面ACD
解法二:
(Ⅰ)求異面直線所成的角,可用幾何法,其基本解題思路是“異面化共面,認定再計算”,即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中,結合余弦定理來求.連接AC1交A1C于點E,取AD中點F,連接EF,則EF∥C1D,∴直線EF與A1C所成的角就是異面直線C1D與A1C所成的角.
(Ⅱ)欲證平面A1DC⊥平面ADC,先證直線與平面垂直,由題意可得:AC⊥A1D,AD⊥A1D,∴A1D⊥平面ACD,又A1D?平面A1CD,∴平面A1DC⊥平面ADC
解答:解:解法一:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標系設AB=a,
則A1(0,0,2a),C(0,a,0),C1(0,a,2a),D(a,0,a)(2分)
于是=(a,-a,-a),=(0,a,-2a)
∵cos<>===,(6分)
∴異面直線C1D與A1C所成的角為arccos(7分)
(Ⅱ)∵=(a,0,-a),=(0,a,0),
=a2+0-a2=0,=0(10分)

∴A1D⊥平面ACD(12分)
又A1D?平面A1CD,
∴平面A1DC⊥平面ADC(14分)
解法二:
(Ⅰ)連接AC1交A1C于點E,取AD中點F,連接EF,則EF∥C1D
∴直線EF與A1C所成的角就是異面直線C1D與A1C所成的角(2分)
設AB=a,
則C1D==a,
A1C==a,AD==a.
△CEF中,CE=A1C=a,EF=C1D=a,
直三棱柱中,∠BAC=90°,則AD⊥AC(4分)
CF===a(4分)
∵cos∠CEF===,(6分)
∴異面直線C1D與A1C所成的角為arccos(7分)
(Ⅱ)直三棱柱中,∠BAC=90°,∴AC⊥平面ABB1A1,則AC⊥A1D(9分)
又AD=a,A1D=a,AA1=2a,
則AD2+A1D2=AA12,于是AD⊥A1D(12分)
∴A1D⊥平面ACD又A1D?平面A1CD,
∴平面A1DC⊥平面ADC(14分)
點評:本小題主要考查空間線面關系、面面關系、二面角的度量,考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.
練習冊系列答案
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2
,側棱AA1=1,側面AA1B1B的兩條對角線交于點D,B1C1的中點為M,求證:CD⊥平面BDM.

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(2)在線段AA1中上是否存在點F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出|
AF
|;若不存在,說明理由.

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(Ⅱ)求證:MN∥平面ABB1A1
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(Ⅰ)證明:A1C1∥平面ACD;
(Ⅱ)求異面直線AC與A1D所成角的大小;
(Ⅲ)證明:直線A1D⊥平面ADC.

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