Question

如圖某市現有自市中心O通往正西和北偏東30°方向的兩條主要公路，為了解決該市交通擁擠問題，市政府決定修建一條環城公路．分別在通往正西和北偏東30°方向的公路上選用A、B兩點，使環城公路在A、B間為直線段，要求AB路段與市中心O的距離為10 km，且使A、B間的距離|AB|最�。�請你確定A、B兩點的最佳位置．

Answer 1

答案：
解析：

如圖，令|OA|＝a，|OB|＝b，則在△AOB中，∠AOB＝120°　　2分 　　∴|OC||AB|＝absin120°． 　　∴|AB|＝�、佟　�4分 　　又由余弦定理， 　　|AB|＝，(當a＝b時取等號．)�、凇　�6分 　　由①②知≥3ab． 　　∵ab＞0，∴ab≥400�、邸　�8分 　　③代入①得|AB|＝≥20． 　　當a＝b時|AB|取得最小值　　10分 　　而a＝b時，△AOB為等腰三角形， 　　∴∠OAB＝∠OBA＝30°． 　　∴a＝b＝20． 　　∴A、B兩點的最佳位置是距市中心O均為20 km處　　12分