Question

如圖某市現有自市中心O通往正西和北偏東30°方向的兩條主要公路，為了解決該市交通擁擠問題，市政府決定修建一條環城公路．分別在通往正西和北偏東30°方向的公路上選用A、B兩點，使環城公路在A、B間為直線段，要求AB路段與市中心O的距離為10km，且使A、B間的距離|AB|最小．請你確定A、B兩點的最佳位置．

Answer 1

解：如圖，作OC⊥AB，令|OA|=a，|OB|=b，
∵在△AOB中，∠AOB=90°+30°=120°，
∴S_△AOB=|OC|•|AB|=absin120°，
∴|AB|=①，
又由余弦定理，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab≥2ab+ab=3ab（當a=b時取等號），
即|AB|≥②，
由①代入②，兩邊平方得：≥3ab．
∵ab＞0，∴ab≥400③，
③代入①得：|AB|=≥20，
∴當a=b時，|AB|取得最小值，
而a=b時，△AOB為等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴a=b=20，
則A、B兩點的最佳位置是距市中心O均為20km處．
分析：如圖，作OC⊥AB，令|OA|=a，|OB|=b，在三角形AOB中，由水平直線與鉛直直線垂直及方位角北偏東30°求出∠AOB的度數，進而得出sin∠AOB與cos∠AOB的值，利用三角形的面積公式表示出三角形AOB的面積，再利用底邊AB的長與邊AB上的高乘積的一半表示出三角形AOB的面積，兩面積相等表示出|AB|，記作①，利用余弦定理表示出|AB|²，將cos∠AOB的值代入并利用基本不等式變形，整理后開方得出關系式，記作②，由①代入②，兩邊平方并根據ab大于0，得到ab大于等于400，記作③，將③代入①得到|AB|的最小值，以及取得最小值時a=b，可得出三角形AOB為等腰三角形，且底角為30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，由OC的長為10km可得出OA的長為20km，即為OB的長為20km，即可得到A、B兩點的最佳位置是距市中心O均為20km處．
點評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，基本不等式，以及等腰三角形的性質，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．