Question

一個棱錐的底面是邊長為a的正三角形，它的一個側面也是正三角形，且這個側面與底面垂直，求這個棱錐的體積和全面積．

Answer 1

解：如圖所示，平面ABC⊥平面BCD，△ABC與△BCD均為邊長為a的正三角形，
取BC中點E，連接AE，則AE⊥平面BCD，
故棱錐A-BCD的高為AE，△BCD的面積為a²，AE=a，
∴這個棱錐的體積V_A-BCD=•a²•a=a³．
連接DE，∵AE⊥平面BCD，DE?平面BCD，∴AE⊥DE，
在Rt△AED中，AE=ED=a，
∴AD=•a=a．
取AD中點F，連接CF，則CF⊥AD．
在Rt△CDF中，DF=•a=a，
∴CF=a．
∴S_△ACD=AD•CF=a×a=a²．
∵△ABD≌△ACD，S_△ABD=a²．
故S_全面積=a²+a²+2×a²=a²．
分析：棱錐的側面積等于三個側面的面積的和，體積利用V=S_△BCD×AE即可求解．
點評：本題考查棱錐的側面積和體積，考查空間想象能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．