Question

若AB是過二次曲線中心的任一條弦，M是二次曲線上異于A、B的任一點，且AM、BM均與坐標軸不平行，則對于橢圓=1有K_AM•K_BM=-．類似地，對于雙曲線-=1有K_AM•K_BM=    ．

Answer 1

【答案】分析：設A，B所在直線為y=kx與橢圓方程聯立設A（x₁，y₁）B（x₂，y2）M（m，n）根據韋達定理表示出y₁y₂和x₁x₂，把點M的坐標代入橢圓方程，進而可表示出AM和BM的斜率，求得兩斜率乘積的表達式，把y₁+y₂=0 x₁+x₂=0以及x₁x₂，y₁y₂，n²代入并整理就能得到答案．
解答：解：設A，B所在直線為y=kx與雙曲線方程b²x²-a²y²=a²b²
聯立得：（b²-a²k²）x²=a²b²
設A（x₁，y₁）B（x₂，y2）M（m，n）
根據韋達定理
x₁x₂=代入y=kx
y₁y₂=
把M的坐標代入雙曲線方程得n²=（a²b²+b²m²）
kAM•kBM=（y₁-n）（y₂-n）/（x₁-m）（x₂-m）
=[y₁y₂-（y₁+y₂）n+n²]
因為AB是過二次曲線中心的任一條弦，所以AB過原點
y₁+y₂=0 x₁+x₂=0
kAM•kBM=
把x₁x₂，y₁y₂，n²代入并整理就能得到kAM•kBM=
點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．