Question

若AB是過二次曲線中心的任一條弦，M是二次曲線上異于A、B的任一點，且AM、BM均與坐標軸不平行，則對于橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1有K_AM•K_BM=-

a2

b2

．類似地，對于雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1有K_AM•K_BM=

 

．

Answer 1

分析：設A，B所在直線為y=kx與橢圓方程聯(lián)立設A（x₁，y₁）B（x₂，y2）M（m，n）根據(jù)韋達定理表示出y₁y₂和x₁x₂，把點M的坐標代入橢圓方程，進而可表示出AM和BM的斜率，求得兩斜率乘積的表達式，把y₁+y₂=0 x₁+x₂=0以及x₁x₂，y₁y₂，n²代入并整理就能得到答案．

解答：解：設A，B所在直線為y=kx與雙曲線方程b²x²-a²y²=a²b²
聯(lián)立得：（b²-a²k²）x²=a²b²
設A（x₁，y₁）B（x₂，y2）M（m，n）
根據(jù)韋達定理
x₁x₂=

-a2b2

b2-a2k2

代入y=kx
y₁y₂=

-k2a2b2

b2-a2k2

把M的坐標代入雙曲線方程得n²=

1

a2

（a²b²+b²m²）
kAM•kBM=（y₁-n）（y₂-n）/（x₁-m）（x₂-m）
=

1

x 1x 2-(x 1+x 2)m+m2

[y₁y₂-（y₁+y₂）n+n²]
因為AB是過二次曲線中心的任一條弦，所以AB過原點
y₁+y₂=0 x₁+x₂=0
kAM•kBM=

y1y2+n2

x1x2+m2

把x₁x₂，y₁y₂，n²代入并整理就能得到kAM•kBM=

a2

b2

點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．