Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，當(dāng)n≥1時(shí)，S_n+1是a_n+1與S_n+1+k的等比中項(xiàng)（k≠0）．
（1）求證：對(duì)于n≥1有

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

k

；
（2）設(shè)a1=-

k

2

，求S_n；
（3）對(duì)n≥1，試證明：S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1＜

k2

2

.

Answer 1

分析：（1）由題意知S_n+1²=（S_n+1-S_n）（S_n+1+k），-S_n+1S_n+k（S_n+1-S_n）=0，等式兩邊同除Sn+1Sn得：-1+k(

1

Sn

-

1

Sn+1

)=0
由此可知

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

k

．
（2）由（1）知：

1

Sn

=-

n+1

k

，由此可知Sn=-

k

n+1

．
（3）S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1=

k2

2•3

+

k2

3•4

++

k2

(n+1)(n+2)

=k2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n+1

-

1

n+2

)]=k2(

1

2

-

1

n+2

)＜

k2

2

．

解答：證明：（1）由S_n+1²=a_n+1•（S_n+1+k）而a_n+1=S_n+1-S_n
∴S_n+1²=（S_n+1-S_n）（S_n+1+k）
∴-S_n+1S_n+k（S_n+1-S_n）=0
等式兩邊同除Sn+1Sn得：-1+k(

1

Sn

-

1

Sn+1

)=0
∴

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

k

；（4分）
（2）由（1）知：{

1

Sn

}是以-

2

k

為首項(xiàng)，
以

-1

k

為公差的等差數(shù)列，
∴

1

Sn

=-

n+1

k

∴Sn=-

k

n+1

；（8分）
（3）S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1
=

k2

2•3

+

k2

3•4

++

k2

(n+1)(n+2)

=k2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n+1

-

1

n+2

)]
=k2(

1

2

-

1

n+2

)＜

k2

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．