Question

已知{a_n}是各項均為正數的等差數列，lga₁、lga₂、lga₄成等差數列．又bn=

1

a2n

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）證明{b_n}為等比數列；
（Ⅱ）如果數列{b_n}前3項的和等于

7

24

，求數列{a_n}的首項a₁和公差d．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設{a_n}中首項為a₁，公差為d．lga₁，lga₂，lga₄成等差數列，把₁1和d代入求得d，進而分別當d=0，整理可得 b_n+1•b_n=1，進而判斷出{b_n}為等比數列；進而討論d=a₁時，整理即可判斷出{b_n}為等比數列．
（Ⅱ）把第一問所求結論分別代入即可求出數列{a_n}的首項a₁和公差d．

解答：解：（Ⅰ）證明：設{a_n}中首項為a₁，公差為d．
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差數列∴2lga₂=lga₁+lga₄
∴a₂²=a₁•a₄．
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）∴d=0或d=a₁．
當d=0時，a_n=a₁，b_n=

1

a2n

=

1

a1

，∴

bn+1

bn

=1，∴{b_n}為等比數列；
當d=a₁時，a_n=na₁，b_n=

1

a2n

=

1

2na1

，∴

bn+1

bn

=

1

2

，∴{b_n}為等比數列．
綜上可知{b_n}為等比數列．
（Ⅱ）當d=0時，s3=b1+b2+b3=

3

a1

=

7

24

，所以a₁=

72

7

；
當d=a₁時，S3=

1

21•a1

+

1

22•a1

+

1

23•a1

=

7

24

，
所以

7

8a1

=

7

24

，故a₁=3=d．
綜上可知

a1= 72 7 d=0

或

a1=3 d=3

．

點評：本題主要考查等差數列與等比數列的綜合以及分類討論思想的應用，涉及數列的公式多，復雜多樣，故應多下點功夫記憶．