Question

已知{a_n}是各項均為正數的等差數列，lga₁，lga₂，lga₄成等差數列．又bn=

1

a2n

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）證明{b_n}為等比數列；
（Ⅱ）如果數列{b_n}前3項的和等于

7

24

，求數列{a_n}的首項a₁和公差d．

Answer 1

分析：（1）先設{a_n}中首項為a₁，公差為d，根據等差中項的性質可知2lga₂=lga₁+lga₄，把a₁和d關系找出來，即d=0或d=a₁，然后對d的兩種情況進行討論即可確定答案．
（2）當d=0時根據b₁+b₂+b₃可求得a₁；當d=a₁時，根據b_n=

1

a2n

=

1

2na1

，再根據b₁+b₂+b₃=

7

24

，求得a₁．

解答：（1）證明：設{a_n}中首項為a₁，公差為d．
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差數列
∴2lga₂=lga₁+lga₄
∴a₂²=a₁•a₄，即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
∴d=0或d=a₁
當d=0時，a_n=a₁，b_n=

1

a2n

=

1

a1

，
∴

bn+1

bn

=1，
∴{b_n}為等比數列；
當d=a₁時，a_n=na₁，b_n=

1

a2n

=

1

2na1

，
∴

bn+1

bn

=

1

2

，
∴{b_n}為等比數列
綜上可知{b_n}為等比數列
（2）當d=0時，b_n=

1

a2n

=

1

a1

，
∴b₁+b₂+b₃=

3

a1

=

7

24

∴a₁=

72

7

；
當d=a₁時，b_n=

1

a2n

=

1

2na1

∴b₁+b₂+b₃=

1

2a1

+

1

4a1

+

1

8a1

=

7

8a1

=

7

24

∴a₁=3
綜上可知

a1= 72 7 d=0

或

a1=3 d=3

點評：本題主要考查了等比數列和等差數列的性質．涉及數列的公式多，復雜多樣，故應多下點功夫記憶．