Question

已知P（x，y）為函數y=lnx圖象上一點，O為坐標原點．記直線OP的斜率k=f（x）．
（I）同學甲發現：點P從左向右運動時，f（x）不斷增大，試問：他的判斷是否正確？若正確，請說明理由：若不正確，請給出你的判斷．
（Ⅱ）求證：當x＞1時，f（x）＜

x-1

x 3 2

．
（III）同學乙發現：總存在正實數a、b（a＜b），使a^b=b^a．試問：他的判斷是否正確？若不正確，請說明理由：若正確，請求出a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）同學甲的判斷不正確．f′(x)=

1-lnx

x2

，當x∈（0，e）時，f′（x）＞0；當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，e]上遞增，在[e，+∞）遞減．
（Ⅱ）f（x）-

x-1

x 3 2

=

lnx

x

-

x-1

x 3 2

=

lnx- x + 1 x

x

，記g(x)=lnx-

x

+

1

x

，g′(x)=

1

x

-

1

2

x

1

2

-

1

2

x-

3

2

 =-

1

2

x

3

2

(

x

-1)2＜0，g（x）在（1，+∞）為減函數，由此能夠證明f（x）＜

x-1

x 3 2

．
（III）同學乙的判斷正確．

lim

x→+∞

x-1

x 3 2

=0，且

x-1

x 3 2

＞0(x＞1)，f(x)＜

x-1

x 3 2

，當x→∞時，f（x）→0，由此能求出求出a的取值范圍．

解答：解：（I）同學甲的判斷不正確．
依題意，f（x）=

lnx

x

，f′(x)=

1-lnx

x2

，
當x∈（0，e）時，f′（x）＞0；當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e]上遞增，在[e，+∞）遞減．
（Ⅱ）f（x）-

x-1

x 3 2

=

lnx

x

-

x-1

x 3 2

=

lnx- x + 1 x

x

，
記g(x)=lnx-

x

+

1

x

，
g′(x)=

1

x

-

1

2

x

1

2

-

1

2

x-

3

2

 =-

1

2

x

3

2

(

x

-1)2＜0，
∴g（x）在（1，+∞）為減函數，
則g（x）=lnx-

x

+

1

x

＜g(1)=0，
∴f(x)-

x-1

x 3 2

＜0，即f（x）＜

x-1

x 3 2

．
（III）同學乙的判斷正確．
∵

lim

x→+∞

x-1

x 3 2

=0，且

x-1

x 3 2

＞0(x＞1)，
又由（2）f(x)＜

x-1

x 3 2

，
∴當x→∞時，f（x）→0，
∴總存在正實數a，b，且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），即

lna

a

=

lnb

b

，∴a^b=b^a，此時1＜a＜e．

點評：本題考查導數在函數的單調性中的應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地借導數性質進行解答．