Question

在數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，a_n+2a_na_n-1-a_n-1=0
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

an

2n+1

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可知a_n≠0，原式可變形為

1

an

-

1

an-1

=2，由等差數列的定義可判斷{

1

an

}為等差數列，從而可求得

1

an

，進而可得a_n；
（2）先由（1）求得b_n，然后利用裂項相消法可求得S_n；

解答：解：（1）由a_n+2a_na_n-1-a_n-1=0及a₁=1知a_n≠0，從而可得

1

an

-

1

an-1

=2且

1

a1

=1．
故{

1

an

}為以1為首項，公差為2的等差數列．
從而

1

an

=

1

a1

+(n-1)•2，
∴an=

1

2n-1

；
（2）∵bn=

an

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點評：本題考查利用數列遞推式求數列通項公式、裂項相消法對數列求和，考查學生的運算求解能力．