Question

1．某中學數學老師分別用兩種不同教學方式對入學數學平均分和優秀率都相同的甲、乙兩個高一新班（人數均為20人）進行教學（兩班的學生學習）（兩班的學生學習數學勤奮程度和自覺性都一樣）．如圖所示莖葉圖如．

（1）現從乙班數學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求至少有一名成績為90分的同學被抽中的概率；
（2）學校規定：成績不低于75分的為優秀．請填寫下面的2×2表，并判斷有多大把握認為“成績優秀與教學方式有關”．

	甲班	乙班	合計
優秀	14	8	22
不優秀	6	12	18
合計	20	20	40

附參考公式及數據：

P（x2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.79	10.828

（K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$）

Answer 1

分析 （1）先求得乙班數學成績不低于80的人數及成績為90分的同學人數，利用排列組合求得基本事件的個數，利用古典概型的概率公式計算；
（2）根據莖葉圖分別求出甲、乙班優秀的人數與不優秀的人數，列出列聯表，利用相關指數公式計算K²的觀測值，比較與臨界值的大小，判斷成績優秀與教學方式有關的可靠性程度．

解答 解：（1）乙班數學成績不低于80分的同學有5名，其中成績為90分的同學有2名，
從5名同學中抽取2名，共有C₅²=10種方法，
其中至少有一名同學90分的抽法有C₂²+C₂¹C₃¹=7種，
∴所求概率P=$\frac{7}{10}$；
（2）2×2列聯表為：

	甲班	乙班	合計
優秀	14	8	22
不優秀	6	12	18
合計	20	20	40

∴K²=$\frac{40×（14×12-6×8）^{2}}{20×20×20×20}$=3.6＞2.706，
有90%以上的把握認為成績優秀與教學方式有關．

點評 本題考查了由莖葉圖求分類變量的列聯表，及根據列聯表計算相關指數K²的觀測值，考查了古典概型的概率計算，綜合性強，計算要細心，由公式計算相關指數K²的觀測值并由觀測值判斷成績優秀與教學方式有關的可靠性程度是解題的關鍵．