Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-B的大�。�
（Ⅲ）求異面直線AB和PC所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）要證明PA⊥平面PBC，即證明PA與平面PBC中兩條相交的直線垂直，由已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且BC⊥AB，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，我們易得BC⊥平面PAB．再結(jié)合PA⊥PB，我們易得結(jié)論．
（2）要求二面角P-AC-B的大小，我們要先求二面角P-AC-B的平面角，作PO⊥AB于點(diǎn)O，OM⊥AC于點(diǎn)M，連接PM．由平面PAB⊥平面ABC，則PO⊥平面ABC，根據(jù)三垂線定理得PM⊥AC，則∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．解三角形PMO即可得到結(jié)果．
（3）要異面直線AB和PC所成角的大小，在底面ABC內(nèi)分別過A、C作BC、AB的平行線，交于點(diǎn)D，連接OC，OD，PD．則∠PCD是異面直線AB和PC所成的角或其補(bǔ)角．解三角形PCD即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，
且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．
∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC．
又∵PA⊥PB，∴PA⊥平面PBC．
（Ⅱ）作PO⊥AB于點(diǎn)O，OM⊥AC于點(diǎn)M，連接PM．
∵平面PAB⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC，
根據(jù)三垂線定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．
設(shè)PA=PB=

6

，∵PA⊥PB，∴AB=2

3

，PO=BO=AO=

3

．
∵OM⊥AM，∠MAO=30°，∴OM=AO•sin30°=

AO

2

，∴tanPMO=

PO

OM

=

AO

OM

=2，
即二面角P-AC-B的大小是arctan2．

（Ⅲ）在底面ABC內(nèi)分別過A、C作BC、AB的平行線，交于點(diǎn)D，
連接OC，OD，PD．
則∠PCD是異面直線AB和PC所成的角或其補(bǔ)角．
∵AB⊥BC，∠BAC=30°，
∴BC=AB•tan30°=2，OC=

OB2+BC2

=

7

，
∴PC=

PO2+CO2

=

10

．
易知底面ABCD為矩形，從而OC=OD，PC=PD．
在△PCD中，cosPCD=

1 2 CD

PC

=

30

10

，
∴異面直線AB和PC所成角的大小為arccos

30

10

．

點(diǎn)評：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠PMO為二面角P-AC-B的平面角，通過解∠PMO所在的三角形求得∠PMO．其解題過程為：作∠PMO→證∠PMO是二面角的平面角→計(jì)算∠PMO，簡記為“作、證、算”．