Question

設F₁、F₂分別是橢圓+y²=1的左、右焦點．
（1）若P是該橢圓上的一個動點，求向量乘積的取值范圍；
（2）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，且∠MON為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．
（3）設A（2，0），B（0，1）是它的兩個頂點，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知，，設P（x，y），則=x²+y²-3=．由此能夠求出向量乘積的取值范圍．
（2）設直線l：y=kx-2，M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立，得：，由韋達定理和根的判別式知：或k，又0°＜∠MON＜90°?cos∠MON＞0?＞0，由此能求出直線l的斜率k的取值范圍．
（3）由題設|BO|=1，|AO|=2．設y₁=kx₁，y₂=kx₂，由x₂＞0，y₂=-y₁＞0，故四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂=，由此能求出S的最大值．
解答：解：（1）根據題意易知，所以，
設P（x，y），則
=x²+y²-3
=
=．
故-2．
（2）顯然直線x=0不滿足題設條件，可設直線l：y=kx-2，M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立，消去y，整理得：，
∴，
由，
得：或k，
又0°＜∠MON＜90°?cos∠MON＞0?＞0，
∴x₁x₂+y₁y₂＞0，
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=
=．
∵，
即k²＜4，∴-2＜k＜2．
故由①、②得，或．
（3）由題設，|BO|=1，|AO|=2．
設y₁=kx₁，y₂=kx₂，由x₂＞0，y₂=-y₁＞0，
故四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂=
=≤=2，
當x₂=2y₂時，上式取等號．所以S的最大值為2．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．