Question

設F₁、F₂分別是橢圓

x2

5

+

y2

4

=1的左、右焦點．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在過點A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設P（x，y），則

PF1

• 

PF2

=(-1-x，-y)• (1-x，-y)=x2+y2+1=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3，根據x的取值范圍能夠得到

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l．由題意知點A（5，0）在橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所在直線l斜率存在，設為k，則直線l的方程為y=k（x-5），再把直線y=k（x-5）和橢圓

x2

5

+

y2

4

=1聯系方程用根的判別式求l的方程或說明理由．

解答：解：（Ⅰ）由題意知a=

5

，b=2，c=1，∴F1=(-1，0)，F2(1，0)，
設P（x，y），則

PF1

• 

PF2

=(-1-x，-y)• (1-x，-y)=x2+y2+1=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3，
∵x∈[-

5

，

5

]，
∴當 x=0時，即點P為橢圓短軸端點時，

PF1

•

PF2

有最小值3；
當x=±

5

，即點P為橢圓長軸端點時，

PF1

•

PF2

有最大值4．
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l．由題意知點A（5，0）在橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所在直線l斜率存在，設為k，則直線l的方程為y=k（x-5）
由方程組

x2 5 + y2 4 =1 y=k(x-5)

，得（5k²+4）x²-50k²x+125k²-20=0
依題意△=20(16-80k2) ＞0，∴-

5

5

＜ k＜

5

5

．
當-

5

5

＜k＜

5

5

時，設交點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點為R（x₀，y₀），
則x1+x2=

50k2

5k2+4

，x0=

25k2

5k2+4

，∴y0=k(x0-5) =k(

25k2

5k2+4

-5) =

-20k

5k2+4

，
又|F₂C|=|F₂D|?F₂R⊥l?k•kF2R=-1，∴k•kF1R=k•

0-(- 20k 5k2+4 )

1- 25k2 5k2+4

=

20k2

4-20k2

=-1，
∴20k²=20k²-4，而20k²=20k²-4不成立，所以不存在直線l，使得|F₂C|=|F₂D|
綜上所述，不存在直線l，使得|F₂C|=|F₂D|．

點評：本題考查橢圓的性質及其應用，難度較大，解題時要仔細審題，認真解答．