Question

（2012•天津）設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點．
（1）若直線AP與BP的斜率之積為-

1

2

，求橢圓的離心率；
（2）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|＞

3

．

Answer 1

分析：（1）設P（x₀，y₀），則

x02

a2

+

y02

b2

=1，利用直線AP與BP的斜率之積為-

1

2

，即可求得橢圓的離心率；
（2）依題意，直線OP的方程為y=kx，設P（x₀，kx₀），則

x02

a2

+

k2x02

b2

=1，進一步可得

x02

a2

+

k2x02

a2

＜1，利用AP|=|OA|，A（-a，0），可求得x0=

-2a

1+k2

，從而可求直線OP的斜率的范圍．

解答：（1）解：設P（x₀，y₀），∴

x02

a2

+

y02

b2

=1①
∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右頂點分別為A，B，∴A（-a，0），B（a，0）
∴kAP=

y0

x0+a

，kBP=

y0

x0-a

∵直線AP與BP的斜率之積為-

1

2

，∴x02=a2-2y02
代入①并整理得(a2-2b2 )y02=0
∵y₀≠0，∴a²=2b²
∴e2=

a2-b2

a2

=

1

2

∴e=

2

2

∴橢圓的離心率為

2

2

；
（2）證明：依題意，直線OP的方程為y=kx，設P（x₀，kx₀），∴

x02

a2

+

k2x02

b2

=1
∵a＞b＞0，kx₀≠0，∴

x02

a2

+

k2x02

a2

＜1
∴(1+k2)x02＜a2②
∵|AP|=|OA|，A（-a，0），
∴(x0+a)2+k2x02=a2
∴(1+k2)x02+2ax0 =0
∴x0=

-2a

1+k2

代入②得(1+k2)(

-2a

1+k2

)2＜a2
∴k²＞3
∴直線OP的斜率k滿足|k|＞

3

．

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查直線的斜率，考查學生的計算能力，屬于中檔題．