Question

（2012•杭州二模）已知動點P在直線 x+2y-1=0上，動點Q在直線 x+2y+3=0上，線段PQ中點 M（x₀，y₀）滿足不等式

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

，則

x 2 0 + y 2 0

的取值范圍是

[

5

5

，

34

]

．

Answer 1

分析：首先由直線x+2y-1=0與直線x+2y+3=0是平行線，得出PQ的中點M（x₀，y₀）滿足的直線方程；再根據

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

對應的平面區域進一步限定M的范圍；最后結合

x 2 0 + y 2 0

的幾何意義求出其范圍．

解答：解：根據題意作圖如下：
因為PQ中點為M，則點M的坐標滿足方程x+2y+1=0，
又

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

，則點M在線段AB上，
且由方程組

x+2y+1=0 y= x 3 +2

和

x+2y+1=0 y=-x+2

可得 A（-3，1），B（5，-3）
而

x 2 0 + y 2 0

可視為點M與原點O的距離，
其距離最小為原點到直線x+2y+1=0的距離，最大為OB．
由點到直線的距離公式可得d=

1

12+22

=

5

5

，
由兩點間的距離公式可得d′=

52+(-3)2

=

34

故

x 2 0 + y 2 0

的取值范圍是[

5

5

，

34

]
故答案為：[

5

5

，

34

]

點評：本題考查兩點間的距離公式，涉及距離公式幾何意義的應用，屬中檔題．