Question

（2012•杭州二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，點M在邊DC上，點F在邊AB上，且DF⊥AM，垂足為E，若將△ADM沿AM折起，使點D位于D′位置，連接D′B，D′C得四棱錐D′-ABCM．
（Ⅰ）求證：AM⊥D′F；
（Ⅱ）若∠D′EF=

π

3

，直線D'F與平面ABCM所成角的大小為

π

3

，求直線AD′與平面ABCM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據圖形折疊前后的關系，易證AM⊥面D′EF，得出AM⊥D′F．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AM⊥面D′EF，所以平面ABCM⊥面D′EF，過D′作D′H⊥EF，則D′H⊥平面ABCM，，∠D′FH是直線D'F與平面ABCM所成角，∠D′AH是直線AD′與平面ABCM所成角在直角三角形D′AH求解即可．

解答：（Ⅰ）證明：∵AM⊥D′E，AM⊥EF，D′E∩⊥EF=E，
∴AM⊥面D′EF
∵D′F?面D′EF，
∴AM⊥D′F；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AM⊥面D′EF，AM?平面ABCM，
∴平面ABCM⊥面D′EF，
∴過D′作D′H⊥EF，則D′H⊥平面ABCM，
∴∠D′FH也就是∠D′FE是直線D'F與平面ABCM所成角，由已知，∠D′FE=

π

3

，
并且∠D′AH是所求的直線AD′與平面ABCM所成角．
∵∠D′EF=

π

3

，且∠D′FE=

π

3

在三角形△D′EF中，∵∠D′EF=

π

3

，且∠D′FE=

π

3

所以是等邊三角形，∴D′E=EF，即DE=EF，∴△DAF是等腰三角形．
設AD=2，∴AF=2，EF=

2

，四棱錐D′-ABCM的高D′H=

6

2

由于直線AD′與平面ABCM所成角為∠D′AH，∴sin∠D′AH=

D′H

D′A

=

6

4

點評：本題考查直線與平面位置關系的判斷，線面角求解，考查空間想象能力、推理論證、計算能力．