Question

已知函數（其中n為常數，n∈N^*），將函數f_n（x）的最大值記為a_n，由a_n構成的數列{a_n}的前n項和記為S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若對任意的n∈N^*，總存在x∈R⁺使，求a的取值范圍；
（Ⅲ）比較與a_n的大小，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ），（2分）
令f_n′（x）＞0，則x＜eⁿ⁺¹-n．
∴f_n（x）在（-n，eⁿ⁺¹-n）上遞增，在（eⁿ⁺¹-n，+∞）上遞減．（4分）
∴當x=eⁿ⁺¹-n時，（5分）
即，
則．（6分）
（Ⅱ）∵n≥1，∴eⁿ⁺¹遞增，n（n+1）遞增，
∴遞減．
∴，
即（8分）
令，則，
∴g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．
當x→0時，；
當x→+∞時，；
又g（1）=1+a，
∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
由已知得，（a，1+a]?，
∴（11分）
（Ⅲ）
=
=
=（12分）
令，
∵在[1，+∞）上遞減．
∴，
即（13分）
又（14分）
∴
∴（15分）
分析：（Ⅰ），令f_n′（x）＞0，則x＜eⁿ⁺¹-n．所以f_n（x）在（-n，eⁿ⁺¹-n）上遞增，在（eⁿ⁺¹-n，+∞）上遞減．由此能求出S_n．
（Ⅱ）由n≥1，知eⁿ⁺¹遞增，n（n+1）遞增，遞減．所以，令，則，故g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．由此入手能夠求出a的取值范圍．
（Ⅲ）作差相減，得，整理為，令，能夠推導出．
點評：本題考查導數在函數最值中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意培養運算能力，注意作差法的合理運用．