Question

已知函數f(x)= (a＞0,x＞0).

（1）求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數；

（2）若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范圍；

（3）若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m≠n)，求a的取值范圍.

Answer 1

(1)證明略 (2) a的取值范圍是［,+∞)（3）0＜a＜

解析:

  任取x₁＞x₂＞0,

f(x₁)–f(x₂)=

∵x₁＞x₂＞0,∴x₁x₂＞0，x₁–x₂＞0,

∴f(x₁)–f(x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)，故f(x)在(0,+∞)上是增函數.

（2）解： ∵≤2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,

∴a≥在（0，+∞）上恒成立，

令

（當且僅當2x=即x=時取等號），

要使a≥在(0,+∞)上恒成立，則a≥.

故a的取值范圍是［,+∞).

(3)解: 由（1）f(x)在定義域上是增函數.

∴m=f(m),n=f(n)，即m²–m+1=0，n²–n+1=0

故方程x²–x+1=0有兩個不相等的正根m，n，注意到m·n=1，

故只需要Δ=()²–4＞0,由于a＞0，則0＜a＜.