Question

選做題
如圖所示，AB是⊙O的直徑，G為AB延長線上的一點，GCD是⊙O的割線，過點G作AB的垂線，交AC的延長線于點E，交AD的延長線于點F，過G作⊙O的切線，切點為H．求證：
（Ⅰ）C，D，F，E四點共圓；
（Ⅱ）GH²=GE•GF．

Answer 1

證明：（Ⅰ）連接BC．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵AG⊥FG，
∴∠AGE=90°．又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG．又∠FDC=∠ABC，
∴∠FDC=∠AEG．∴∠FDC+∠CEF=180°．
∴C，D，F，E四點共圓．（5分）
（Ⅱ）∵GH為⊙O的切線，GCD為割線，∴GH²=GC•GD．
由C，D，F，E四點共圓，得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF．
∴△GCE∽△GFD．∴

GC

GF

=

GF

GD

，即GC•GD=GE•GF，
∴CH²=GE•GF．（10分）