Question

選做題
如圖所示，AB是⊙O的直徑，G為AB延長線上的一點，GCD是⊙O的割線，過點G作AB的垂線，交AC的延長線于點E，交AD的延長線于點F，過G作⊙O的切線，切點為H．求證：
（Ⅰ）C，D，F，E四點共圓；
（Ⅱ）GH²=GE•GF．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接BC．由已知中AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，由過點G作AB的垂線，交AC的延長線于點E，可得∠AGE=90°，進而得到∠FDC=∠AEG，根據圓內接四邊形判定定理，即可得到C，D，F，E四點共圓；
（Ⅱ）由（I）中C，D，F，E四點共圓，則GCD和GEF分別為圓的兩條件割線，則GE•GF=GC•GD，又由已知中GH為圓O的切線，GCD為圓O的割線，由切割線定理可得GH²=GC•GD，進而得到結論．
解答：證明：（Ⅰ）連接BC．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵AG⊥FG，
∴∠AGE=90°．又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG．又∠FDC=∠ABC，
∴∠FDC=∠AEG．∴∠FDC+∠CEF=180°．
∴C，D，F，E四點共圓．（5分）
（Ⅱ）∵GH為⊙O的切線，GCD為割線，∴GH²=GC•GD．
由C，D，F，E四點共圓，得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF．
∴△GCE∽△GFD．∴=，即GC•GD=GE•GF，
∴CH²=GE•GF．（10分）
點評：本題考查的知識點是與圓相關的比例線段及圓內接四邊形的判定，其中根據圓內接四邊形判定定理，判斷C，D，F，E四點共圓，是解答本題的關鍵．