Question

已知雙曲線方程，橢圓方程，A、D分別是雙曲線和橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，B、C分別為雙曲線和橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|，|OB|，
|OC|，|OD|成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若E是橢圓長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MC⊥CE，連接EM，交橢圓于點(diǎn)P，在x軸上有異于點(diǎn)E的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點(diǎn)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得A（1, 0），B（），
∵OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數(shù)列．
∴，
∴a=2,
∴a=2, b=c=
∴所求橢圓的方程為；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（﹣2，0），
設(shè)直線EM的方程為：y=k（x+2），P（x₁，y₁）
∵M(jìn)C⊥CE，
∴M（2，4k）
將y=k（x+2）代入整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²﹣4=0
∵
∴
∴P（）
設(shè)Q（x₀，0），x₀≠﹣2
若以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點(diǎn)，則MQ⊥CP

即·x₀=0恒成立
∴x₀=0
∴存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點(diǎn)．