Question

已知雙曲線方程，橢圓方程，A、D分別是雙曲線和橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，B、C分別為雙曲線和橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若E是橢圓長軸的左端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MC⊥CE，連接EM，交橢圓于點(diǎn)P，在x軸上有異于點(diǎn)E的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點(diǎn)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由雙曲線方程，可求，根據(jù)|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數(shù)列，可得，根據(jù)D是橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，C為橢圓的右頂點(diǎn)，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（-2，0），將y=k（x+2）代入整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，可求P的坐標(biāo)；設(shè)Q（x，0），x≠-2，若以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點(diǎn)，則MQ⊥CP，從而有，進(jìn)而可知存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點(diǎn)．
解答：解：（Ⅰ）由已知A是雙曲線的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，B為雙曲線的右頂點(diǎn)，雙曲線方程，
∴
∵|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數(shù)列．
∴
∵D是橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，C為橢圓的右頂點(diǎn)，
∴
∴
∴所求橢圓的方程為；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（-2，0），設(shè)直線EM的方程為：y=k（x+2），P（x₁，y₁）
∵M(jìn)C⊥CE，∴M（2，4k）
將y=k（x+2）代入整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0
∵
∴
∴
∴P（）
設(shè)Q（x，0），x≠-2
若以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點(diǎn)，則MQ⊥CP
∴
∵，
∴=0
∴
∴x=0
∴存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是將兩直線與橢圓方程聯(lián)立，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系．