Question

設(shè)點(diǎn)P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與圓x²+y²=3b²的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且|PF₁|=3|PF₂|，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  10

  4

• B．

  3

  5

• C．

  7

  4

• D．

  14

  4

Answer 1

分析：先由橢圓的定義和已知求出兩個(gè)焦半徑的長(zhǎng)，利用余弦定理得關(guān)于a、c的等式，然后求得離心率．

解答：解：依據(jù)橢圓的定義：|PF₁|+|PF₂|=2a，又∵|PF₁|=3|PF₂|，
∴|PF₁|=

3

2

a，|PF₂|=

1

2

a，
∵圓x²+y²=3b²的半徑r=

3

b，
∴三角形F₁PF₂中有余弦定理可得：(

a

2

)2=(

3

b)2+c2-2

3

cbcosθ，
(

3a

2

)2=(

3

b)2+c2+2

3

cbcosθ，
可得7a²=8c²，得e=

14

4

．
故選 D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義，橢圓的幾何性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，離心率的求法，考查計(jì)算能力．