Question

設點p是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一點，F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，I為△PF₁F₂的內心，若S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2，則該橢圓的離心率是

1

2

．

Answer 1

分析：設△PF₁F₂的內切圓半徑為r，根據內心的性質，結合三角形面積公式將S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2化簡整理，可得|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．由此結合橢圓離心率公式，即可得到該橢圓的離心率．

解答：解：設△PF₁F₂的內切圓半徑為r，則
S_△IPF1=

1

2

|PF₁|•r，S_△IPF2=

1

2

|PF₂|•r，S_△IF1F2=

1

2

|F₁F₂|•r，
∵S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2，
∴

1

2

|PF₁|•r+

1

2

|PF₂|•r=|F₁F₂|•r，可得|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．
∴橢圓的離心率e=

c

a

=

2c

2a

=

|F1F2|

|PF1|+|PF2|

=

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題已知橢圓的焦點三角形的一個面積關系式，求橢圓的離心率．著重考查了三角形內切圓的性質、橢圓的標準方程和簡單性質等知識，屬于基礎題．