Question

如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點E，交⊙O于點D，若PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：由PD=1，BD=8我們不難求出割線PB被圓截得的兩條線段的長，根據切割線定理，我們進而可以求出切線PA的長度，由PE=PA及弦切角定理，我們可以得到△AEP為等邊三角形，結合余弦定理，可以求出AD的長，根據相似三角性質，即可求出BC的長．
解答：解：∵PB=PD+BD=1+8=9，
由切割線定理得：
PA²=PD•BD=9，
∴PA=3，
由弦切角定理得：∠PAC=∠ABC=60°，又由PA=PE
∴△PAE為等邊三角形，則AE=PA=3，
連接AD，在△ADE中，ED=PE-PD=2
由余弦定理易得：
又△AED～△BEC，相似比=ED：BE=1：2
∴
點評：本題是考查同學們推理能力、邏輯思維能力的好資料，題目以證明題為主，特別是一些定理的證明和用多個定理證明一個問題的題目，我們注意熟練掌握：1．射影定理的內容及其證明； 2．圓周角與弦切角定理的內容及其證明；3．圓冪定理的內容及其證明；4．圓內接四邊形的性質與判定；