Question

已知函數(shù)f(x)=

a-x

x

lnx．
（1）設(shè)a=1，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的x∈(0，

1

e

]，都有f（x）＜-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，先求出f′（x），然后解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．
（2）本題屬于恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可求得．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

1-x

x

lnx，其定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′（x）=

1-lnx

x2

-

1

x

=

1-lnx-x

x2

．
設(shè)g（x）=1-x-lnx（x＞0），則g′（x）=-1-

1

x

＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
又g（1）=0，于是x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0．
所以f（x）的增區(qū)間是（0，1），減區(qū)間是（1，+∞）．
（2）由f（x）＜-2可得

a-x

x

lnx＜-2，由于x∈(0，

1

e

]，則lnx＜0，于是a＞x-

2x

lnx

．
令h(x)=x-

2x

lnx

，則h′（x）=1-

2lnx-2

ln2x

=

(lnx-1)2+1

ln2x

，當(dāng)x∈（0，

1

e

）時(shí)，h′（x）＞0，
于是h（x）在(0，

1

e

)上單調(diào)遞增，因此h（x）在(0，

1

e

]上的最大值為h(

1

e

)=

3

e

，
因此要使f（x）＜-2恒成立，應(yīng)有a＞

3

e

．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

3

e

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了如何利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題是解決不等式恒成立的常用方法．